Формула Рэлея – Джинса. Ультрафиолетовая катастрофа. Формула джинса


Формула Рэлея – Джинса. Ультрафиолетовая катастрофа.

В 1900 г Рэлей, а затем и Джинс (1905 г) получили строго теоретически вид универсальной функции Кирхгофа, дающей распределение энергии в спектре излучения абсолютно черного т

ела. Тепловое излучение было рассмотрено на примере совокупности стоячих электромагнитных волн (или колебаний, осцилляторов) в полости с идеально отражающими стенками – в резонаторе. На длине резонатора укладывается целое число полуволн собственных (резонансных) колебаний (стоячих волн): = n/2. Чем меньше длина волны , тем больше густота, плотность собственных колебаний. Число d таких колебаний в объеме V можно записать в виде: d = АVf()d. Функция распределения собственных колебаний по длинам волн f() = Расчет числа dn стоячих электромагнитных волн, заключенных в единице объема полости, длины волн которых заключены в интервале от  до  + d, дает значение dn = (2с/4)d. Отсюда спектральная плотность осцилляторов, то есть dn/d = 2с/4. Применив классический закон о равномерном распределении энергии по степеням свободы (ЗРРЭСС), они приписали каждому собственному колебанию (моде) резонатора энергию, равную kТ (по kТ/2 на электрическую и магнитную составляющие электромагнитного колебания; k  1,410-23 Дж/К – постоянная Больцмана). Соответственно для спектральной плотности потока энергии излучения, т. е. для излучательной способности абсолютно черного тела, Рэлей и Джинс получили выражение: E,Т = (2с/4)kТ

Ф

ормула Рэлея - Джинса хорошо соответствовала эксперименту в области больших длин волн, но имела значительное расхождение с ним в областикоротких волн, соответствующих, ультрафиолетовому диапазону. Это несоответствие получило название ультрафиолетовой катастрофы. Катастрофы потому, что формула была получена в строгом соответствии с основными законами классической физики и, в частности, с законами классической статистики и волновой электромагнитной теории света, излучения. Стало очевидно, что эти основы классической теории не в состоянии адекватно отобразить новые экспериментальные факты. Возникла революционно-проблемная ситуация в фундаментальных основах классической теоретической физики. Первый шаг в переходе от классической к современной физике был сделан М. Планком в конце 1900 г.

Формула Планка

Для устранения ультрафиолетовой катастрофы М. Планк вынужден был сделать чуждое классической физике предположение о том, что энергия осциллятора может принимать не непрерывный, а дискретный ряд значений, кратных некоторому кванту энергии, пропорциональному частоте колебаний:

Е = h, где h  6,6210-34 Джс - постоянная Планка.

Фотоэлектрический эффект (фотоэффект)

Фотоэлектрическим эффектом или просто фотоэффектом называют совокупность электрических процессов, происходящих в веществе под воздействием света и включающую в себя внешний фотоэффект, внутренний фотоэффект и вентильный фотоэффект.

Первое фотоэлектрическое явление – внешний фотоэффект, заключающееся в вырывании светом электронов из вещества, впервые экспериментально было обнаружено в 1887 г. Г. Герцем и детально исследовано в 1888 - 1889 гг. А. Г. Столетовым. Обобщенная схема экспериментальной устано­вки для изучения внешнего фотоэффекта (см. рис) представляла собой двухэлектродную стеклянную трубку, лампу (вакуумный диод - фотоэлемент), один из электродов (катод К) которой облучался пучком света. Между катодом и вторым электродом – анодом А прикладывалось напряжение U, которое можно было регулировать (как по величине, так и по знаку, полярности) с помощью потенциометра П. Амперметр А измерял силу I тока, протекающего через лампу, а вольтметр В измерял напряжение между анодом и катодом.

Х

арактерные особенности внешнего фотоэффекта наиболее полно вскры­ваются в его вольтамперной характеристике (ВАХ), представляющей собой зависимость силы фототока (тока электронов, попадающих на анод) от напряжения между катодом и анодом.

П

адающий на катод свет своим переменным электрическим полем раскачивает электроны вещества, и со временем происходит их отрыв и вылет их из катода. В силу имеющегося разброса начальных скоростей электронов, вылетающих из разных по глубине слоев вещества катода, до анода долетают лишь наиболее быстрые из них. С ростом положительного напряжения на аноде число таких электронов возрастает, и при некотором напряжении все, вырванные светом из катода электроны, достигают анода, образуяток насыщения нас.

Чтобы обратить фототок в ноль, необходимо между анодом и катодом приложить напряжение UЗ обратной полярности, называемое запирающим или задерживающим.

Опыты выявили следующие основные закономерности внешнего фотоэффекта:

Сила тока насыщения нас прямо пропорциональна световому потоку ( Под световым потоком Ф понимают величину, равную энергии излучения, падающего на поверхность за единицу времени). Ф: нас  Ф (эта закономерность носит название закона Столетова).

Фотоэффект начинается с некоторой минимальной частоты света мин (или о), получившей название красной границы фотоэффекта. (Красную границу фотоэффекта часто выражают через максимальную длину волны света о = со; для многих веществ она лежит в красном диапазоне света. )

Максимальные кинетическая энергия Ек макс и скорость к макс фотоэлектронов (а также и задерживающее напряжение Uз) пропорциональны частоте  света и не зависят от его интенсивности (светового потока).

Фотоэффект практически безынерционен, т. е. фототок возникает мгновенно после облучения светом вещества.

Согласно классической волновой электромагнитной теории света, вырывание электронов, связанных в веществе, происходит вследствие возрастающей во времени “раскачки” их переменным электрическим полем световой волны. В волновом подходе интенсивность света пропорциональна амплитуде световой волны, и именно эти характеристики должны были определять возможность самого фотоэффекта и его “силу”. Опыт же говорил о том, что определяющей характеристикой оказывается частота света. Волновой подход не смог объяснить основные закономерности внешнего фотоэффекта и, прежде всего, частотные закономерности (наличие красной границы, пропорциональность запирающего напряжения частоте света), а также его безынерционность и независимость запирающего напряжения от интенсивности света. Это несоответствие классической волновой теории и опыта было преодолено в 1905 г. А. Эйнштейном путем привлечения квантово-корпускулярных представлений о свете, предложенных в 1900 г. М. Планком при объяснении закономерностей теплового излучения.

А. Эйнштейн предположил, что свет не только излучается в виде дискретных энергетических порций, квантов, энергия которых, по Планку, пропорциональна частоте Е = h, но и поглощается веществом также этими неделимыми порциями света, названными впоследствии фотонами. Эйнштейн записал основное уравнение однофотонного фотоэффекта, представляющее собой фактически закон сохранения энергии при взаимодействии фотона со связанным в веществе электроном. Согласно этому уравнению, энергия фотона расходуется на совершение работы Авыхпо вырыванию электрона из металла и сообщение ему кинетической энергии Ек, то есть:

h = Авых + Ек макс.

За работу Авых в уравнении Эйнштейна принимают работу по вырыванию наименее связанных в веществе электронов, которые приобретают при вылете наибольшую скорость м и кинетическую энергию Ек макс. (При достаточно высокой частоте  света, облучающего фотокатод, скорость  фотоэлектронов может приближаться к скорости света в вакууме с = 3108 м/с, и тогда от классического выражения для кинетической энергии Ек = m2/2 необходимо переходить к релятивистскому выражению: Ек = mс2/(1 – 2/с2) - mс2.)

Из уравнения Эйнштейна сразу вытекает наличие красной границы фотоэффекта, т. е. существование такой граничной частоты о, при которой начинается фотоэффект и ниже которой энергии фотона не хватит на совершение работы выхода электрона, т. е. на преодоление сил связи его с веществом:

hо = Авых о = Авых/h; о и Авых являются табличными характеристиками вещества.

Задерживающее напряжение определяется из условия обращения фототока в ноль. При этом тормозящее электрическое поле между катодом и анодом совершает работу А, равную максимальной кинетической энергии электронов А = qеUз = Ек макс. Подставляя вместо Ек макс в уравнение ЭйнштейнаqеUз, имеем: h = Авых + qеUз, откуда Uз = (h - Авых­)/qе  Uз  . Таким образом, из уравнения Эйнштейна вытекает пропорциональная зависимость задерживающего напряжения Uз (а с ним и максимальных кинетической энергии Ек макс и скорости фотоэлектронов макс) частоте  света при фотоэффекте и независимость Uз от интенсивности света.

Интенсивность света в квантовом подходе оказывается пропорциональной числу фотонов, ежесекундно, падающих на единицу площади. Отсюда становится понятной пропорциональность силы фототока насыщения световому потоку (ветовой поток Ф представляет собой мощность излучения, падающего на поверхность, а интенсивность излучения есть поверхностная плотность светового потока, то есть мощность излучения, приходящаяся на единицу площади.) Ф, облучающему материал. При фототоке насыщения все вырванные из материала электроны достигают противоположного электрода. В стадии до насыщения часть вылетевших из материала электронов, обладающих скоростью, меньше максимальной, возвращалась обратно под воздействием отталкивающего электрического поля ранее вылетевших электронов и притягивающего действия, положительно заряжающегося при отдаче электронов катода.

С увеличением интенсивности света увеличивается число фотонов, ежесекундно бомбардирующих катод и, соответственно, число вырываемых ими электронов, которые в стадии насыщения все достигают анода, обусловливая возрастание силы фототока до тока насыщения.

Безынерционность фотоэффекта в квантовом подходе тем и объясняется, что взаимодействие электронов со светом носит не растянутый во времени, как с волной, а элементарный, мгновенный характер взаимодействия двух частиц – частицы вещества – электрона и частицы света (электромагнитного поля) – фотона.

Если электрический вектор падающей на вещество световой волны не перпендикулярен плоскости падения, возможен так называемыйселективный фотоэффект. В нем сила фототока сильно зависит от угла падения и поляризации световой волны. Нормальная составляющая вектора гораздо более эффективна для вырывания электрона из металла, чем касательная составляющая.

В сильных световых полях возможен так называемый многофотонный фотоэффект. В нем вырывание электрона осуществляется в результате поглощения не одного, а двух, или реже трех фотонов. При этом происходит пересмотр понятия «красная граница фотоэффекта».

Давление света.

Квантово - корпускулярная концепция света позволила легко и наглядно объяснить такое его опытное проявление как давление (именно давлением солнечного света объясняли, например, изгибание хвостов комет, при их приближении к Солнцу, в сторону от Солнца).

Если фотоэффект связан с передачей от фотонов энергии веществу, то давление света связано с передачей другой, векторной меры движения – импульса. Напомним, что фотон, как частица света, энергия которой пропорциональна частоте света Еф = h = hс/, обладает импульсом рф = Еф/с = h/. Быстрота изменения (передачи) импульса, согласно второму закону Ньютона, есть сила, а сила, приходящаяся на единицу площади, есть давление P: и.

Таким образом, давление света на вещество равно импульсу, передаваемому фотонами единице площади в единицу времени. Если поверхность полностью поглощает падающие на нее по нормали фотоны (свет), то каждый фотон передает ей импульс рф = h/с, а при полном отражении – удвоенный импульс 2рф. Если же поверхность частично отражает падающий на нее свет с коэффициентом отражения , то при падении в единицу времени на единицу площади nо = /St фотонов, отразится от нее число фотонов, равное nо, а поглотится nо(1 – ) фотонов. Они окажут давление (передадут единице площади в единицу времени импульс), равное:

Р = nо(1 - )h/ + 2nоh/ = (nоh/)(1 + ) = (nоhс/с)(1 + ) = (nоЕф/с)(1 + ) = (W/с)(1 + ),

где W = nоЕф – энергия фотонов, падающих за единицу времени на единичную площадку, т. е. вектор Умова - Пойнтинга – плотность потока переносимой энергии. Из известной из теории волн формулы взаимосвязи плотности потока с объемной плотностью  энергии волны:W = с, получаем формулу для давления света в виде:

Р = (1 + ), где  - объемная плотность энергии фотонов, то есть энергия фотонов в единице объема.

Полученная формула для давления света, как потока фотонов, полностью аналогична таковой, получаемой в волновом подходе. Там физический механизм давления сводился к тому, что переменное электрическое поле световой волны приводило в колебательное движение электроны атомов вещества, а на эти движущиеся электроны действовало уже магнитное поле световой волны с силой Лоренца = q+ q [],направленной вглубь вещества. Таким образом, давление света является таким эффектом, который в равной степени успешно объясняется как с волновых, так и с корпускулярных воззрений на природу света, его микроструктуру. Квантово - корпускулярная концепция получила окончательное признание после того, как успешно объяснила такой эффект, как эффект Комптона, в котором свет, взаимодействуя с веществом, передает ему одновременно и энергию, и импульс.

Эффект Комптона.

Д

лявидимого света энергия фотона Еф = h меньше энергии связи электронов с атомом, но соизмерима с энергией связи «свободных» электронов с веществом металлов. С повышением частоты излучения его фотоэлектрическое поглощение веществом уменьшается и становится совсем несущественным на частотах, на которых энергия фотона значительно превышает энергию связи электрона в атоме. Для такого высокочастотного, например, рентгеновского излучения, электроны вещества становятся практически свободными. Свободный же электрон не может поглотить фотон. На смену фотоэлектрическому поглощению света приходит рассеяние фотонов на электронах.

В 1925 г. А. Комптон, исследуя рассеяние рентгеновских лучей в парафине, обнаружил эффект увеличения длины волны рассеянных веществом лучей с ростом угла рассеяния . По классической теории рассеяния света, основанной на волновых представлениях, длина волны света при рассеянии не должна изменяться; под действием возмущающего электрического поля световой волны электрон колеблется с частотой поля и поэтому излучает вторичные (рассеянные) волны той же частоты. Комптон предложил квантово-корпускулярную трактовку обнаруженного им явления возрастания длины волны рассеянных веществом рентгеновских лучей. Моделируя эти лучи фотонами с энергией Е = h, много большей энергии связи валентных (внешних) электронов в легких атомах (какими, например, являются атомы углерода в парафине), Комптон рассмотрел взаимодействие фотона и свободного электрона. В основу расчета этого взаимодействия Комптон положил законы сохранения энергии и импульса. Здесь, в отличие от фотоэффекта, фотон отдает электрону не всю свою энергию Еф = hс/ = срф, а лишь ее часть; поэтому после взаимодействия он останется с уменьшенной энергией Еф = срф = hс/ и с увеличенной длиной . Так качественно объясняется возрастание длины волны рассеянных веществом лучей, т. е. суть эффекта Комптона.

Разность зависит только от угла рассеяния и не зависит ни от , ни от рода рассеивающего вещества. В этом особенность эффекта Комптона. Максимальное смещение длины волны имеет место при  =  и равно макс = 2е = 4,8410-12 м.

Примечательно, что свободный электрон не может полностью поглотить фотон, то есть фотоэффект на свободных электронах иметь места не может. Это связано с невозможностью вследствие разного характера закона дисперсии, то есть зависимости Е(р) для фотона (Еф = срф) и для электрона (Еэ = (с2рэ2 + m2с4), удовлетворить одновременно обоим законам сохранения – и энергии, и импульса. Поэтому, поглощая фотон, то есть принимая всю его энергию, электрон не может одновременно принять весь его импульс. Действительно, из ЗСЭ:

срф + mс2 = Еэ = (с2рэ2 + m2с4)=с2рф2 + 2рфmс3 + m2с4 = с2рэ2 + m2с4 =рэ2 = рф2 + 2 рфmс// рэ  рф.

В металле «свободные электроны» на самом деле связаны с кристаллом в целом, и там фотон при фотоэффекте передает часть импульса кристаллической решетке.Фотоэффект (передача электрону энергии фотона) и давление света (передача импульса) являются в соотнесении с эффектом Комптона частичными, односторонними эффектами. И квантово-корпускулярная природа света в нем выступает наиболее полно и убедительно. Корпускулярно – волновой дуализм, выявленный вначале применительно к свету, к электромагнитному полю, оказался позже применимым и к веществу, к его свойствам, и стал после открытия эффекта Комптона и его объяснения признанной универсальной особенностью физической реальности.

Опыт Резерфорда и ядерная модель атома.

В отличие от поля, вещество в физике от древних греков считалось дискретным, состоящим из мельчайших частиц, называемых атомами. К началу XX в атомистическая гипотеза древних, считающая атомы мельчайшими, неделимыми далее порциями вещества (с греческого tomos – часть и atomos – не имеющий частей, неделимый) перестала соответствовать накопленному экспериментальному материалу. Выявление и изучение термоэлектронной эмиссии, электрического тока в металлах и газах, фотоэффекта и особенно радиоактивности с ее  -, - и  - лучами привели к обнаружению еще более мелких, чем атомы частиц. Ими были, прежде всего, отрицательно заряженные  - частицы (электроны) и положительно заряженные  - частицы (ядра атомов гелия).

Встала проблема установления внутреннего состава и строения атома. Начали выдвигаться различные модели устройства атомов. Они должны были учитывать такие, известные из опыта закономерности, как:

Электрическая нейтральность атома в целом.

Наличие в составе атомов легких, отрицательно заряженных частиц – электронов.

Динамичность системы заряженных частиц, ибо статическая система не может

быть устойчивой (по теореме Ирншоу – из электростатики).

Дискретный характер спектра излучения атомов.

Решающий эксперимент для построения современной модели строения атома осуществил в 1911 г. Э. Резерфорд с сотрудниками. Открытие радиоактивности дало в руки физиков мощное орудие исследования структуры атома, а именно - альфа-излучение, состоящее из ядер гелия, движущихся с большой скоростью. Бомбардируя  - частицами, вылетавшими из радиоактивного вещества (РВ) с большой скоростью   107 м/с, тонкую (доли микрона) золотую2 фольгу Ф, Резерфорд изучал с помощью наблюдения в измерительный микроскоп ИМ рассеяние  - частиц атомами фольги. Опыты показали, что вещество (материал фольги, его атомы) является весьма “пористым”, т. к. подавляющая часть  - частиц (99,95%) пронизывала фольгу насквозь. Лишь незначительная часть их, примерно 1/2000, рассеивалась на углы , большие 90, т. е. отбрасывалась назад. Но именно последний факт обратил на себя внимание Резерфорда, который посчитал его невероятным. Дело в том, что отбросить массивную, положительно заряженную  - частицу, движущуюся с огромной скоростью, может лишь положительный массивный заряд, сосредоточенный в очень малом объеме. Примерный размер (радиус) этого объема Резерфорд оценил исходя из закона сохранения энергии, из условия равенства кинетической энергии  - частицы работе ее торможения в электрическом поле положительного заряда атома фольги:

,

где Z – порядковый номер атома фольги в табл. Менделеева.

Полученный размер оказался много меньше диаметра атома, порядок которого, по газокинетическим оценкам, составлял м. Кроме того, в существовавших моделях атома (например, в модели Томсона), он представлялся в виде равномерно заряженного положительного шара, внутри которого колеблются электроны. Для объяснения своих опытов Резерфорд предложил новуюядерную или планетарную модель атома, согласно которой атом построен по типу солнечной системы, где гравитационные силы заменены на силы электромагнитные.

В ней атом состоит из массивного положительного ядра малых размеров порядка м и вращающихся вокруг него на больших расстояниях (с радиусом порядкам) легких электронов. Эта модель во многом подобна нашей планетарной системе с центром – ядром – массивным Солнцем и вращающихся вокруг него более легких планет.

Но в теоретическом плане эта модель, порожденная опытом, оказалась противоречащей основным положениям классической электродинамики; вращающийся вокруг ядра электрон представляет собой заряженную частицу, движущуюся с ускорением, и должен был излучать энергию в виде электромагнитных волн. Но, излучая энергию, т. е. теряя в итоге запас своей энергии, электрон спустя короткое время (по расчетам, порядка с) должен был упасть на ядро. Но этот вывод классической электродинамики не соответствовал опыту, ибо атомы были устойчивыми образованиями. Частота излучения в классической электромагнитной теории должна совпадать с частотой орбитального движения электрона. По мере того, как электронная орбита сжимается, частота обращения непрерывно возрастает. Таким образом, спектр излучения, испущенного возбужденным атомом водорода, казалось бы, должен быть непрерывным, т. е. в нем должны быть представлены все частоты. Эксперименты, однако, показывают, что спектр излучения атома водорода, наоборот, состоит из семейства дискретных линий.

Так же, как и при анализе закономерностей теплового излучения, надо было приводить в очередное соответствие прежнюю теорию с новым опытом. Такое реформирование теории первоначально было проведено Н. Бором.

studfiles.net

Формула Рэлея-Джинса.

Общий метод определения универсальной функции Кирхгофа, основанный на применении методов статистической физики к тепловому излучению был предложен Рэлеем, а затем развит Джинсом.

Согласно теореме статистической механики о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы в состоянии статистического равновесия на каждую поступательную и вращательную степень свободы приходится в среднем kT/2 энергии, а на колебательную степень свободы - kT.

Равновесное излучение в полости представимо системой стоячих электромагнитных волн. Каждое электромагнитное колебание обладает энергий kT,kT/2 приходится на электрическую составляющую, и kT/2 на магнитную составляющую электромагнитного колебания.

Рассчитав количество стоячих волн в единичном интервале частот приходящихся на единицу объема, Рэлей и Джинс получили выражение для универсальной функции

 

Кирхгофа в виде < >, а поскольку < >= kT, то окончательно

 

kT (8.7)

 

Формула Рэлея - Джинса удовлетворяет экспериментальным данным лишь в области низких частот. В области высоких частот она приводит к абсурдным результатам.

Рис 8. 13

Попытка получить из формулы Рэлея–Джинса закон Стефана–Больцмана (R ~ T4) приводит к абсурду.

 

Интегрируя по всему диапазону частот, получаем, что энергетическая светимость абсолютно черного тела есть бесконечная величина.

 

 

(8.8)

Этот результат получил название «ультрафиолетовой катастрофы», так как с точки зрения классической физики вывод Рэлея–Джинса был сделан безупречно.

8.6 Формула Планка.

Планк пришел к выводу, что процессы излучения и поглощения электромагнитной энергии нагретым телом происходят не непрерывно, как это принимала классическая физика, а конечными порциями – квантами. Квант – это минимальная порция энергии, излучаемой или поглощаемой телом. По теории Планка, энергия кванта E прямо пропорциональна частоте света:

E = h (8.9)

где h – так называемая постоянная Планка. h = 6,626·10–34 Дж·с. Постоянная Планка – это универсальная константа.

На основе гипотезы о прерывистом характере процессов излучения и поглощения телами электромагнитного излучения Планк получил формулу для спектральной светимости абсолютно черного тела. Формулу Планка удобно записывать в форме, выражающей распределение энергии в спектре излучения абсолютно черного тела по частотам ν, а не по длинам волн λ.

 

r( (8.10)

Здесь c – скорость света, h – постоянная Планка, k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура.

Формула Планка хорошо описывает спектральное распределение излучения черного тела при любых частотах. Она прекрасно согласуется с экспериментальными данными. Из формулы Планка можно вывести законы Стефана–Больцмана и Вина. При hν << kT формула Планка переходит в формулу Релея–Джинса.

Решение проблемы излучения черного тела ознаменовало начало новой эры в физике. Нелегко было примириться с отказом от классических представлений, и сам Планк, совершив великое открытие, в течение нескольких лет безуспешно пытался понять квантование энергии с позиции классической физики.

Похожие статьи:

poznayka.org

Формула Релея — Джинса - это... Что такое Формула Релея — Джинса?

Закон Релея — Джинса — закон излучения Рэлея — Джинса для равновесной плотности излучения абсолютно чёрного тела u(ω,T) и для испускательной способности абсолютно чёрного тела f(ω,T) который получили Релей и Джинс, в рамках классической статистики о равнораспределении энергии по степеням свободы.

Вывод формулы

Зависимость испускательной способности абсолютно черного тела от длины волны для разных температур (выделены цветом) и её вид, исходя из классических рассуждений Релея и Джинса (черный цвет)

Основываясь на законе о равнораспределении энергии по степеням свободы: на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, складываемая из двух частей kT. Одну половинку вносит электрическая составляющая волны, а вторую — магнитная. Само по себе, равновесное излучение в полости, можно представить как систему стоячих волн. Количество стоячих волн в трехмерном пространстве дается выражением:

.

В нашем случае скорость v следует положить равной c, более того, в одном направлении могут двигаться две электромагнитные волны с одной частотой, но со взаимно перпендикулярными поляризациями, тогда (1) в добавок следует помножить на два:

.

Итак, Релей и Джинс, каждому колебанию приписали энергию .

Помножив (2) на ,получим плотность энергии, которая приходится на интервал частот dω: ,

тогда самоочевидно:

.

Зная связь испускательной способности абсолютно черного тела f(ω,T) с равновесной плотностью энергией теплового излучения , для f(ω,T) находим:

Выражения (3) и (4), называют формулой Релея — Джинса.

Ультрафиолетовая катастрофа

Формулы (3) и (4) удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными лишь для больших длин волн, на более коротких волнах согласие с экспериментом резко расходится. Более того интегрирование (3) по ω в пределах от 0 до для равновесной плотности энергии u(T) дает бесконечно большое значение. Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, очевидно, входит в противоречие с экспериментом: равновесие между излучением и излучающим телом должно устанавливаться при конечных значениях u(T). Однако ошибки в выводе формулы Релея — Джинса, с классической точки зрения — нет. Очевидно несогласие с экспериментом вызвано некими закономерностями, которые несовместимы с классической физикой. Эти закономерности были определены Максом Планком: в 1900 году ему удалось найти вид функции u(ω,T), соответствующий опытным данным, в дальнейшем называемую формулой Планка.

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

Второй закон излучения Вина

В 1896 году Вин на основе дополнительных предположений вывел второй закон:

  • где uν— плотность энергии излучения

  • ν — частотаизлучения

  • T—температураизлучающего тела

  • C1,C2— константы.

Опыт показывает, что вторая формула Вина справедлива лишь в пределе высоких частот (малых длин волн). Она является частным конкретным случаем первого закона Вина.

Позже Макс Планкпоказал, что второй закон Вина следует из закона Планка для больших энергий квантов, а также нашёл постоянныеC1иC2. С учётом этого, второй закон Вина можно записать в виде:

  • где uν— плотность энергии излучения

  • ν — частота излучения

  • T — температура излучающего тела

  • h — постоянная Планка

  • k — постоянная Больцмана

  • c — скорость света в вакууме

Закон Рэлея — Джинса

Основная статья:закон Рэлея — Джинса

Попытка описать излучение абсолютно чёрного тела исходя из классических принципов термодинамикииэлектродинамикиприводит к законуРэлея— Джинса:

Эта формула предполагает квадратичное возрастание спектральной плотности излученияв зависимости от его частоты. На практике такой закон означал бы невозможностьтермодинамического равновесиямеждувеществомиизлучением, поскольку согласно ему вся тепловая энергия должна была бы перейти в энергию излучения коротковолновой области спектра. Такое гипотетическое явление было названоультрафиолетовой катастрофой.

Тем не менее закон излучения Рэлея — Джинса справедлив для длинноволновой области спектра и адекватно описывает характер излучения. Объяснить факт такого соответствия можно лишь при использовании квантово-механического подхода, согласно которому излучение происходит дискретно. Исходя из квантовых законов можно получить формулу Планка, которая будет совпадать с формулой Рэлея — Джинса при.

Этот факт является прекрасной иллюстрацией действия принципа соответствия, согласно которому новаяфизическая теориядолжна объяснять всё то, что была в состоянии объяснить старая.

Закон Планка

Основная статья:Формула Планка

Зависимость мощности излучения чёрного тела от длины волны

Интенсивность излучения абсолютно чёрного тела в зависимости от температуры и частоты определяется законом Планка:

где I(ν)dν —мощностьизлучения на единицу площади излучающей поверхности в диапазоне частот от ν до ν +dν.

Эквивалентно,

,

где u(λ)dλ —мощностьизлучения на единицу площади излучающей поверхности в диапазонедлин волнот λ до λ +dλ.

Закон Стефана — Больцмана

Общая энергия теплового излучения определяется законом Стефана — Больцмана, который гласит:

Мощность излученияабсолютно чёрного тела (интегральная мощность по всему спектру), приходящаяся на единицуплощадиповерхности, прямо пропорциональна четвёртой степенитемпературытела:

,

где j— мощность на единицу площади излучающей поверхности, а

Вт/(м²·К4) —постоянная Стефана — Больцмана.

Таким образом, абсолютно чёрное тело при T= 100 K излучает 5,67 ватт с квадратного метра своей поверхности. При температуре 1000 К мощность излучения увеличивается до 56,7 киловатт с квадратного метра.

Для нечёрных тел можно приближённо записать:

где ε - степень черноты (для всех веществ ε < 1, для абсолютно черного тела ε = 1).

Константу Стефана — Больцмана σ можно теоретически вычислить только из квантовых соображений, воспользовавшись формулой Планка. В то же время общий вид формулы может быть получен из классических соображений (что не снимает проблемы ультрафиолетовой катастрофы).

studfiles.net

Закон Рэлея — Джинса - это... Что такое Закон Рэлея — Джинса?

Закон Рэлея-Джинса — закон излучения Рэлея-Джинса для равновесной плотности излучения абсолютно чёрного тела u(ω,T) и для испускательной способности абсолютно чёрного тела f(ω,T) который получили Рэлей и Джинс, в рамках классической статистики (теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы и представление об электромагнитном поле как о бесконечномерной динамической системе).[1][2][3]

Правильно описывал низкочастотную часть спектра, при средних частотах приводил к резкому расхождению с экспериментом, а при высоких — к абсурдному результату (см. ниже), означавшему неудовлетворительность классической физики.

Вывод формулы

Зависимость испускательной способности абсолютно черного тела от длины волны для разных температур (выделены цветом) и её вид, исходя из классических рассуждений Релея и Джинса (черный цвет)

Основываясь на законе о равнораспределении энергии по степеням свободы: на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, складываемая из двух частей kT.

Одну половинку вносит электрическая составляющая волны, а вторую  —— магнитная. Само по себе, равновесное излучение в полости, можно представить как систему стоячих волн. Количество стоячих волн в трехмерном пространстве дается выражением: .

В нашем случае скорость v следует положить равной c, более того, в одном направлении могут двигаться две электромагнитные волны с одной частотой, но со взаимно перпендикулярными поляризациями, тогда (1) в добавок следует помножить на два:

.

Итак, Релей и Джинс, каждому колебанию приписали энергию . Помножив (2) на ,получим плотность энергии, которая приходится на интервал частот dω:

,

тогда:

.

Зная связь испускательной способности абсолютно черного тела f(ω,T) с равновесной плотностью энергией теплового излучения , для f(ω,T) находим:

Выражения (3) и (4), называют формулой Релея-Джинса.

Ультрафиолетовая катастрофа

Формулы (3) и (4) удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными лишь для больших длин волн, на более коротких волнах согласие с экспериментом резко расходится. Более того, интегрирование (3) по ω в пределах от 0 до для равновесной плотности энергии u(T) дает бесконечно большое значение. Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, очевидно, входит в противоречие с экспериментом: равновесие между излучением и излучающим телом должно устанавливаться при конечных значениях u(T). Однако ошибки в выводе формулы Релея-Джинса с классической точки зрения  —— нет. Очевидно несогласие с экспериментом вызвано некими закономерностями, которые несовместимы с классической физикой. Эти закономерности были определены Максом Планком: в 1900 году ему удалось найти вид функции u(ω,T), соответствующий опытным данным, в дальнейшем называемую формулой Планка.

Примечания

dic.academic.ru

§ 4. Законы излучения абсолютно черного тела и их применение

Указанные выше характерные особенности зависимости испуска­тельной способности абсолютно черного тела от длины волны и тем­пературы были обобщены в двух законах, наименование которых свя­зано с фамилиями ученых, экспериментально и теоретически и исследовавших эти явления.

Закон Стефана — Больцмана.Интегральная энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой сте­пени его температуры:

(16)

В этом равенстве постоянная величина sопределена из данных опы­та. Она равна 5,7•10-8Вт/(м2-К4). Следует отметить, что закон Стефана — Больцмана неприменим к телам, которые не являются аб­солютно черными. Для таких тел значениеsс ростом температуры не будет оставаться постоянным, и трудно аппроксимировать экспе­риментальные кривые указанной зависимостьюT4. Заметим, что энер­гетическая светимость нечерных тел всегда меньше энергетической све­тимости абсолютного черного тела при данной температуре.

Законсмещения Вина.Произведение длины волнысоот­ветствующей максимуму излучения, и температуры абсолютно чер­ного тела остается постоянным при изменении его температуры:

(17)

Постоянная величина b =0,2886 см • К , определена из опытных дан­ных.

Согласно закону (16), значение будет уменьшаться с ростом температуры. Следовательно, должно иметь место смещение макси­мума кривойв сторону коротких длин волн. Эту особенность аб­солютно черного тела иллюстрирует рис. 7, на котором изображены спектральные зависимости для двух значений температуры черного тела, отличающихся в два раза. Заметим, что кривые на этом рисунке построены для температур 3000 К (/) и 6000 К(II),примерно соответ­ствующих температуре нити мощной лампы накаливания (/) и Солнца(//).При повышении в два раза температуры излучателя максимум излучения переместился из инфракрасной области в оптимальную для визуального наблюдения зеленую часть видимого спектра, где, как известно, чувствительность глаза наибольшая. Площадь кри­вой, характеризующая интегральную энергетическую светимость, при повышении в два раза температуры возросла в 16 раз.

Закон смещения (так же как закон Стефана — Больцмана) применим лишь к абсолютно черным телам. Однако для некоторых нечерных тел отклонение максимума кривой отизмеренного при этой же температуре черного тела, оказывается относительно небольшим. Этим обстоятельством пользуются для измерения температуры некоторых нечерных тел.

§ 5. Закон рэлея-джинса

5.1.Подход Рэлея к изучению теплового излучения.При рассмотрении теплового равновесия тела с излучением, подход к изучению теплового излучения был термодинамическим. Рэлей в отличие от своих предшественников впервые применил методы статистической физики к явлениям тепло­вого излучения. Равновесное электромагнитное излучение, находя­щееся в замкнутой полости с постоянной температурой стенок, рас­сматривалось им как система стоячих волн разных частот, распро­страняющихся во всевозможных направлениях. Частоты образо­вавшихся стоячих волн должны удовлетворять тем же условиям, что и частоты стоячих упругих волн в стержне. При колебаниях упругого стержня на его закрепленных концах образуются узлы смещения и на длине стержняLукладывается целое число полуволн:

L=m(l/2) (18)

Так как l= v/n, то из (18) для набора собственных частот полу­чаем

n=m(v/2L) (19)

где v — скорость распространения волны.

По Рэлею, число собственных частот, укладывающихся в интер­вале (n,n+dn), пропорционально объему полостиV, квадрату частоты и ширине интервала, т. е.dN~Vn2dn. Пользуясь законом равномерного распределения энергии равновесной системы по сте­пеням свободы и учитывая, что на каждую колебательную степень свободы в классической физике приходится энергия, равнаяkT(1/2·kTна кинетическую, 1/2·kTна потенциальную), Рэлей получил следующее выражение для излучательной способности абсолютно черного тела:

где k — постоянная Больцмана.

5.2. Формула Рэлея—Джинса.Используя идею Рэлея, Джинc провел точные вычисления и, определив коэффициенты пропорциональности, нашел, что

(20)

Согласно формуле (15) §4, отсюда получим

(21)

(20) и (21) получили название -формулы Рэлея-Джинса.

Надо заметить, что формулы Рэлея-Джинса легко получить по закону равнораспределе­ния кинетической энергии по степеням свободы, являющемуся одним из фундаментальных соотношений классической физики, на каждую степень свободы исследуемой системы приходится kT/2. Осциллятор имеет кинетическую и потенциальную энергию и можно считать

(22)

Следовательно, его средняя энергия <E> = kT, гдеk— постоян­ная Больцмана (k = 1,38·10-16эрг/К), аТ— температура внутри полости.

Напомним, что этот результат сразу получается из применения теоремы Больцмана для вычисления среднего значения интересующей нас величины — энергии осциллятора. Для этого необходимо просум­мировать по всем непрерывно изменяющимся значениям энергии Е её произведение на относительную вероятность () того, что в равновесии встретится состояние, характеризуемое этим значением энер­гии, и отнести этот интеграл к нормирующему множителю, получаю­щемуся при суммировании относительной вероятности по всем значе­ниям непрерывно изменяющегося значения Е:

(23)

В результате вычисления интегралов в (23) легко получается, что <E> = kT.

5.3. «Ультрафиолетовая катастрофа».Как показал опыт, формула Рэлея-Джинса согласуется с экспериментальными данными только в области достаточно малых частот и больших температур (см.рис.8). Кроме того, оказалось что попытка получить закон Стефана-Больцмана из формулы Рэлея-Джинса приводит к абсурду (образно названному П. Эренфестом «ультрафиолетовой катастрофой»). В самом деле,

(24)

Равенство полновесной плотности энергии ¥означает, что равновесие между телом и его излучением устанавливается только при температуре тел, равной абсолютному нулю. Это противоречит опытным данным, так как тела находятся в равновесии с излучением при произвольной, отличной от нуля температуре.

Эти расхождения теории эксперимента, явились серьезным предостережением, далеко выходящим за рамки задачи о построении универсальной функции

Смысл общего вывода заключается в том, что вся классическая физика имеет определенные границы применимости и использование ее законов и методов вне этих границ приводит к противоречию с опытом, яв­ляющимся основным критерием правильности той или иной теории.

Что касается конкретной задачи о согласовании теории равновес­ного теплового излучения и эксперимента, то тут создалась ситуация, которая хорошо характеризуется образным высказыванием знаме­нитого физика Лоренца: «Уравне­ния классической физики оказались неспособными объяснить, почему угасающая печь не испускает желтых лучей наряду с излучением больших длин волн…»

studfiles.net

32. Абсолютно черное тело. Формула Релея-Джинса.

Все твердые тела в природе условно можно разбить на 3 группы: 1) белые тела ρ=1, а=0 (отражают, но не поглощают). 2) абсолютно черные телаρ=0, a=1 (поглощают, но не отражают), 3) серые тела 0<ρ<1, 0<a<1 (и поглощают и отражают). [ρ = коэффициент отражения, а – коэффициент поглощения]. Абсолютно черных тел (АЧТ) в природе не существует. Приближена – черная сажа (на 99% поглощает), черная фотобумага (на 95% поглощает).

Хорошей моделью является полость отверстия, стенки которого выполнены из любого материала, а отношение d отверстия к диаметру полости 1:100. Излучение, попадающее на отверстие полости, прежде чем выйти из нее, испытает многократное отражение от стенок полости. При каждом отражении большая чать энергии поглощается стенками полости так, что интенсивность излучения вышедшего света ≈ 0. Получается, что отверстие полностью поглощает световую волну.

Попытка описать излучение абсолютно чёрного тела исходя из классических принципов термодинамики Uвн=3/2kT и электродинамики приводит к закону Рэлея — Джинса:

Эта формула предполагает квадратичное возрастание спектральной плотности излучения в зависимости от его частоты. На практике такой закон означал бы невозможность термодинамического равновесия между веществом и излучением, поскольку согласно ему вся тепловая энергия должна была бы перейти в энергию излучения коротковолновой области спектра. Такое гипотетическое явление было названо ультрафиолетовой катастрофой. Тем не менее закон излучения Рэлея — Джинса справедлив для длинноволновой области спектра и адекватно описывает характер излучения. Объяснить факт такого соответствия можно лишь при использовании квантово-механического подхода, согласно которому излучение происходит дискретно. Исходя из квантовых законов можно получить формулу Планка, которая будет совпадать с формулой Рэлея — Джинса при . Этот факт является прекрасной иллюстрацией действия принципа соответствия, согласно которому новая физическая теория должна объяснять всё то, что была в состоянии объяснить старая.

34. Внешний фотоэффект и его законы.

Фотоэффектом называется электрические явления, которые происходят при освещении светом вещества, а именно: выход электронов из вещ-ва (фотоэлектронная эмиссия), возникновение ЭДС.

Вылет электронов из освещенных тел называют внешним фотоэффектом.

Столетов экспериментально установил, что внешний фотоэффект подчиняется следующим законам:

1.Максимальная скорость вылетающих с поверхности металла электронов не зависит от интенсивности падающего света, а зависит от его частоты.

2.Существует предельная длина волны характерного для каждого вещества, выше которого фотоэффект не наблюдается (простая граница Фотоэффекта).

Эти закономерности, наблюдаемые экспериментально, нельзя было объяснить, считая свет волной, в фотоэффекте действует корпускулярная природа света.

35. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта.

Фотоэффектом называется электрические явления, которые происходят при освещении светом вещества, а именно: выход электронов из вещ-ва (фотоэлектронная эмиссия), возникновение ЭДС.

Вылет электронов из освещенных тел называют внешним фотоэффектом.

Электроны, вылетающие из вещества при внешнем фотоэффекте, называются фотоэлектронами, а электрический ток, образуемый ими при упорядоченном движении во внешнем электрическом поле, называется фототоком.

Согласно Эйнштейну(Э), свет частотой ν не только испускается, как это предлагал Планк, но и распространяется в пространстве и поглощается веществом отдельными порциями (квантами), энергия которых E0=hν. По Э. каждый квант поглощается только одним электроном(еˉ). поэтому число вырванных фото-еˉ должно быть пропорционально интенсивности света(1 закон фотоэффекта). Безынерционность фотоэффекта объясняется тем, что передача энергии при столкновении фотона с еˉ происходит почти мгновенно. Энергия падающего фотона расходуется на совершение еˉ работы выхода А из металла и на сообщение вылетевшему фотоэлектрону кинетической энергии mV2max/2. по закону сохранения энергии, h·ν = Авых+ m·V2/2. (1)это уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Согласно урав-ю (1) получаем, что ν0=А/ h и есть красная граница фотоэффекта для данного металла. Она зависит лишь от работы выхода еˉ т.е. от химической природы вещеста и состояния его поверхности.

Из уравнения (1) непосредственно следует, что максимальная кинетическая энергия (mV2max /2) возрастает с увеличением частоты падающего света. С уменьшением частоты кинетическая энергия (mV2max /2) уменьшается и при некоторой частоте она становиться равной нулю и фотоэффект прекращается (). Отсюда

,

(2)

- красная граница фотоэффекта (ниже которой фотоэффект не наблюдается), она зависит лишь от работы выхода электрона из металла (то есть от химической природы вещества).

studfiles.net


Смотрите также