Закон Стефана-Больцмана. Формула Рэлея-Джинса. Формула рэлея джинса


Формулы Рэлея - Джинса и Планка

Успехи термодинамики, позволившие теоретически вывести законы Стефана–Больцмана и Вина, вселяли надежду, что из термодинамических соображений удастся получить всю кривую спектрального распределения излучения черного тела r(λ, T). Эту проблему пытались решить английские физики Д. Релей и Джинс, которые в основу своих рассуждений положили закон о равномерном распределении энергии по степеням свободы

Рис 5.Сравнение закона распределения энергии по длинам волн r(λ, T) в излучении абсолютно черного тела с формулой Рэлея–Джинса при T = 1600 К.

. (11)

Ультрафиолетовая катастрофа

Формула Рэлея Джинса:

Закон Стефана-Больцмана

Квантовая гипотеза М.Планка (1900 г.)

Атомные осцилляторы излучают энергию не непрерывно, а определенными порциями – квантами, причем энергия кванта пропорциональна частоте колебаний.

, h – постоянная Планка, h = 6,626·10–34 Дж·с (12)

На основе гипотезы о прерывистом характере процессов излучения и поглощения телами электромагнитного излучения Планк получил формулу для спектральной светимости абсолютно черного тела. Формулу Планка удобно записывать в форме, выражающей распределение энергии в спектре излучения абсолютно черного тела по частотам ν, а не по длинам волн λ. Средняя энергия осциллятора:

;  формула Планка (13)

Частные случаи:

  1. Малые частоты, (энергия кванта много меньше энергии теплового движения)

; .

  1. Закон Стефана-Больцмана

.

Т.о., формула Планка хорошо описывает спектральное распределение излучения черного тела при любых частотах. Она согласуется с экспериментальными данными. Из формулы Планка выводятся законы Стефана–Больцмана и Вина. При hν << kT формула Планка переходит в формулу Релея–Джинса.

Выдвижением гипотезы о дискретности излучения М.Планк зало­жил основы квантовой теории.

4. Оптическая пирометрия

Законы теплового излучения используются для измерения темпе­ратуры раскаленных и самосветящихся тел, удаленных от наблюдателя (например, звезд), когда нельзя пользоваться обычными методами (термометрами, термопарами). В этих случаях можно судить о темпе­ратуре тела только по его излучению.

Совокупность методов измерения высоких температур, основан­ных на использовании зависимости спектральной плотности энергети­ческой светимости, или энергетической светимости исследуемого те­ла от температуры, называется оптической пирометрией, а приборы, применяемые для этой цели, называются оптическими пирометрами.

4.1. Радиационная температура (из закона Стефана-Больцмана)

, (14)

т.к. АТ < 1, то радиационная температура серого тела всегда меньше истинной температуры.

4.2. Цветовая температура (из закона смещения Вина)

Распределение энергии в спектрах излучения абсолютно черного и серого тел совпадают, поэтому к серым телам применим закон Вина

. (15)

Для серых тел цветовая температура совпадает с истинной температурой, для тел с селективным поглощением (например, газов) она теряет смысл. Цветовая температура на поверхности Солнца .

4.3. Яркостная температура (из закона Кирхгофа)

Это такая температура черного тела, при которой для определенной длины волны его спектральная плотность энергетической светимости равна спектральной плотности энергетической светимости исследуемого тела

, Тя  яркостная, Т  истинная температуры (16)

,

т.е. яркостная температура всегда меньше истинной температуры. Яркостной пирометр  это пирометр с исчезающей нитью.

studfiles.net

Закон Стефана-Больцмана. Формула Рэлея-Джинса.

Закон смещения Вина

К 1884 г. Стефан, основываясь на экспериментальных данных, и Больцман из теоретических соображений получили, что энергетическая светимость RT абсолютно черного тела, связанная с испускательной способностью выражением (1.2), подчиняется следующему закону:

(1.11)

где T – абсолютная температура, σ – константа, получившая название постоянной Стефана-Больцмана, σ = 5,7·10–8 Вт/(м2·К4).

Если коэффициент поглощения какого-либо тела отличен от единицы, но постоянен для всех длин волн и зависит только от температуры тела, материала и состояния поверхности, то такое тело называют серым. Понятие серое тело используют как идеализированную модель реальных тел.

Закон Стефана-Больцмана (1.11), выведенный для абсолютно черного тела, для серого тела, обладающего поглощательной способностью аТсер, имеет вид: (1.12)

Попытки получить математическую функцию f(ω,Т) или φ(λ,Т), описывающую спектральное распределение энергии излучения тела, долго не приносили результатов, сколько-нибудь согласующихся с экспериментальными данными. Причиной этого был так называемый «классический подход» к решению данной задачи. Все ученые того времени исходили из соображений классической механики и представлений, что излучение – это волна, распространяющаяся непрерывно. Соответственно энергия, переносимая волной, должна иметь непрерывный спектральный состав, то есть, энергия волны – есть непрерывная функция частоты (или длины волны) излучения.

Примером неудачной попытки построить теорию, согласующуюся с опытом, была формула, выведенная Джоном Уильямом Рэлеем и Джинсом. При расчетах они опирались на теорему классической статистики о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Рассматривая излучение как электромагнитную волну, было положено, что на каждое колебание приходится две половинки kT, что привело к формуле:

(1.13)

где k = 1,38·10–23 Дж/K – постоянная Больцмана.

Эта формула удовлетворительно совпадает с экспериментальными данными (на рис. 1.4. представлены точками) только при больших длинах волн.

В области больших частот (малых длин волн) хорошее согласие дает формула Вина, выведенная им в 1893 г. из общих классических принципов:

(1.14)

где α и β – постоянные величины, установленные спустя некоторое время. Вильгельм Вин получил эту формулу, рассмотрев адиабатическое (то есть без теплообмена системы с окружающей средой) сжатие излучения черного тела в цилиндрическом сосуде с зеркальными стенками и зеркальным поршнем. Он учел также, что частота излучения меняется при отражении от двигающегося поршня вследствие эффекта Доплера.

Имея вид функции, можно с помощью дифференцирования найти точки экстремумов.

(1.16)

Поскольку λ ≠ ∞, а , то из равенства нулю выражения в скобках получаем:

или (1.17)

Экспериментально найденная константа

Выражение (1.17) известно под названием закон смещения Вина – длина волны λmax, соответствующая максимальному значению функции Кирхгофа φ(λ,Т) черного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре. Другими словами положение максимума кривой зависимости от длины волны интенсивности излучения черного тела (рис. 1.3) зависит от его температуры – чем выше температура, тем сильнее максимум смещается в коротковолновую сторону.

Рис. 1.4. Теоретические кривые спектра теплового излучения и экспериментальные точки

Однако ни формула Рэлея-Джинса (1.13), ни формула Вина (1.14) не могли претендовать на истинность. Такое серьезное расхождение теории и эксперимента получило название «ультрафиолетовой катастрофы». Проблема заключалась в том, что согласно формуле Рэлея-Джинса в диапазоне частот от ультрафиолетовых длин волн тело должно испускать огромные потоки энергии и чем меньше длина волны, тем выше должна быть интенсивность излучения. На деле же наблюдается спад поглощательной и испускательной способностей любого тела в области коротких длин волн. Формула была выведена из безупречных термодинамических соображений. Подобный парадокс означал, что фундамент, на котором стояла вся физика, имел серьезный изъян. Для многих физиков это было настоящей «катастрофой», поскольку объяснить такое противоречие они могли только нарушением одного из фундаментальных законов физики – закона сохранения энергии.

 

Теория Планка

Для того, чтобы устранить ошибку, ученым пришлось кардинально изменить взгляд на природу излучения. Первым это сделал Макс Планк. После долгих расчетов, чтобы получить желаемый и напрашивающийся результат, он предположил, что электромагнитное излучение испускается отдельными порциями энергии (квантами). Величина энергии каждого кванта пропорциональна частоте излучения:

(1.18)

Коэффициент ħ был назван постоянной Планка.

ħ = h/2π = (6,62·10–34/2π)Дж·с = 1,054·10–34 Дж·с = 0,659·10–15 эВ·c.

Таким образом, энергия излучения должна быть кратна n – количеству квантов в потоке излучения и величине E: (1.19)

Тогда, если излучение равновесное, то распределение колебаний по значениям энергии должно подчиняться статистике Больцмана – вероятность того, что энергия колебания частоты ω имеет значение En, должна определяться выражением:

(1.20)

Функция Кирхгофа, полученная согласно этим соображениям, имеет вид:

(1.21)

Это выражение известно под названием формула Планка. Она абсолютно точно согласуется с экспериментальными данными (см. рис. 1.4).

Если перейти в рассмотрении задачи от частот к длинам волн, то функция Кирхгофа (1.21) примет вид:

(1.22)

Осуществив необходимые преобразования, из формулы Планка можно получить закон Стефана-Больцмана (1.11) и закон смещения Вина (1.17).

С помощью закона Планка был получен аргумент в пользу так называемой теории Большого Взрыва, объясняющей возникновение и продолжающееся расширение Вселенной (согласно современной теории, Вселенная возникла при взрыве с предельно высокой температурой). Считается, что на ранних стадиях своего развития Вселенная была заполнена излучением, спектральный состав которого должен был совпадать с излучением черного тела. С тех пор вселенная расширилась и остыла до ее нынешней температуры Тсовр. То есть, излучение, которое сейчас распространяется во Вселенной, по спектральному составу должно совпадать с излучением черного тела с температурой Тсовр. В 1965 г. Пензиас и Вильсон обнаружили излучение на длине волны 7.35 см, которое падает на Землю с одинаковой интенсивностью во всех направлениях. Вскоре стало ясно, что это излучение может испускать черное тело, появившееся после Большого Взрыва. Результаты измерений свидетельствуют о том, что температура этого черного тела на данный момент составляет 2,7 К.

С использованием теории теплового излучения описывают явление, которое сопутствовало бы ядерному взрыву – так называемую «ядерную зиму». Сильный взрыв поднимет в воздух колоссальные массы пыли и сажи. Как близкое к абсолютно черному телу, сажа поглощает почти все солнечное излучение, нагревается и испускает тепловое излучение в обе стороны. В результате на Землю попадает только половина излучения, приходящего от Солнца, так как вторая половина будет излучаться в противоположную от Земли сторону. Согласно расчетам средняя температура Земли снизится на 50 K (это температура ниже точки замерзания воды).

Заметим еще один фактор – сажа не является абсолютно черным телом в длинноволновой (инфракрасной) части спектра. Она хорошо поглощает коротковолновое (ультрафиолетовое) излучение, приходящее от Солнца, но пропускает инфракрасное излучение Земли, что приведет к дополнительному остыванию планеты. Процесс прекратится только после рассеивания «черного» облака, однако на это может уйти до 7 лет, после чего начнется постепенное разогревание планеты.

Аналогично можно объяснить возникновение парникового эффекта: углекислый газ хорошо пропускает коротковолновое (ультрафиолетовое), но поглощает инфракрасное излучение. Поэтому повышение концентрации CO2 в атмосфере приведет к задержке и возвращению на Землю все большей доли испущенного ею теплового излучения и постепенному разогреванию Земли.



infopedia.su

Закон Рэлея — Джинса | Virtual Laboratory Wiki

Закон Релея — Джинса — закон излучения Рэлея — Джинса для равновесной плотности излучения абсолютно чёрного тела и для испускательной способности абсолютно чёрного тела который получили Релей и Джинс, в рамках классической статистики о равнораспределении энергии по степеням свободы.

Файл:Blackbody-lg.png

Основываясь на законе о равнораспределении энергии по степеням свободы: на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, складываемая из двух частей kT. Одну половинку вносит электрическая составляющая волны, а вторую — магнитная. Само по себе, равновесное излучение в полости, можно представить как систему стоячих волн. Количество стоячих волн в трехмерном пространстве дается выражением:

.

В нашем случае скорость следует положить равной , более того, в одном направлении могут двигаться две электромагнитные волны с одной частотой, но со взаимно перпендикулярными поляризациями, тогда (1) в добавок следует помножить на два:

.

Итак, Релей и Джинс, каждому колебанию приписали энергию . Помножив (2) на ,получим плотность энергии, которая приходится на интервал частот :

,

тогда самоочевидно:

.

Зная связь испускательной способности абсолютно черного тела с равновесной плотностью энергией теплового излучения , для находим:

Выражения (3) и (4), называют формулой Релея — Джинса.

Ультрафиолетовая катастрофа Править

Формулы (3) и (4) удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными лишь для больших длин волн, на более коротких волнах согласие с экспериментом резко расходится. Более того интегрирование (3) по в пределах от 0 до для равновесной плотности энергии дает бесконечно большое значение. Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, очевидно, входит в противоречие с экспериментом: равновесие между излучением и излучающим телом должно устанавливаться при конечных значениях . Однако ошибки в выводе формулы Релея — Джинса, с классической точки зрения — нет. Очевидно несогласие с экспериментом вызвано некими закономерностями, которые несовместимы с классической физикой. Эти закономерности были определены Максом Планком: в 1900 году ему удалось найти вид функции , соответствующий опытным данным, в дальнейшем называемую формулой Планка.

ru.vlab.wikia.com

Формула Рэлея – Джинса. Ультрафиолетовая катастрофа.

В 1900 г Рэлей, а затем и Джинс (1905 г) получили строго теоретически вид универсальной функции Кирхгофа, дающей распределение энергии в спектре излучения абсолютно черного т ела. Тепловое излучение было рассмотрено на примере совокупности стоячих электромагнитных волн (или колебаний, осцилляторов) в полости с идеально отражающими стенками – в резонаторе. На длине резонатора укладывается целое число полуволн собственных (резонансных) колебаний (стоячих волн): = n/2. Чем меньше длина волны , тем больше густота, плотность собственных колебаний. Число d таких колебаний в объеме V можно записать в виде: d = АVf()d. Функция распределения собственных колебаний по длинам волн f() = Расчет числа dn стоячих электромагнитных волн, заключенных в единице объема полости, длины волн которых заключены в интервале от  до  + d, дает значение dn = (2с/4)d. Отсюда спектральная плотность осцилляторов, то есть dn/d = 2с/4. Применив классический закон о равномерном распределении энергии по степеням свободы (ЗРРЭСС), они приписали каждому собственному колебанию (моде) резонатора энергию, равную kТ (по kТ/2 на электрическую и магнитную составляющие электромагнитного колебания; k  1,410-23 Дж/К – постоянная Больцмана). Соответственно для спектральной плотности потока энергии излучения, т. е. для излучательной способности абсолютно черного тела, Рэлей и Джинс получили выражение:

E,Т = (2с/4)kТ

Ф ормула Рэлея - Джинса хорошо соответствовала эксперименту в области больших длин волн, но имела значительное расхождение с ним в областикоротких волн, соответствующих, ультрафиолетовому диапазону. Это несоответствие получило название ультрафиолетовой катастрофы. Катастрофы потому, что формула была получена в строгом соответствии с основными законами классической физики и, в частности, с законами классической статистики и волновой электромагнитной теории света, излучения. Стало очевидно, что эти основы классической теории не в состоянии адекватно отобразить новые экспериментальные факты. Возникла революционно-проблемная ситуация в фундаментальных основах классической теоретической физики. Первый шаг в переходе от классической к современной физике был сделан М. Планком в конце 1900 г.

Формула Планка и вывод из нее формулы Рэлея-Джинса и законов Вина и Стефана-Больцмана.

Для устранения ультрафиолетовой катастрофы М. Планк вынужден был сделать чуждое классической физике предположение о том, что энергия осциллятора может принимать не непрерывный, а дискретный ряд значений, кратных некоторому кванту энергии, пропорциональному частоте колебаний:

Е = h, где h  6,6210-34 Джс - постоянная Планка.

Это число формальное предположение, названное квантовой гипотезой Планка, устраняло ультрафиолетовую катастрофу тем, что в ультрафиолетовой области высоких частот (и высоких энергий Еф = h кванта света) отключало колебания, т. к. на их возбуждение не хватало энергии kT теплового движения атомов излучающего тела. Колебания с высокими частотами оказывались как бы замороженными, не возбуждаемыми и не вносящими вклад в энергию теплового излучения.

По статистике Больцмана среднее значение Е энергии осциллятора, энергия Е которого обладает непрерывным спектром, равно: Е = .

Для квантового осциллятора, энергия принимает дискретные значения nЕф = nh, и интегрирование необходимо заменить суммированием: . Обозначая имеем:

Аргумент логарифма – (1 + х + х2 + …) представляет собой убывающую бесконечную геометрическую прогрессию с множителем х =, который в ультрафиолетовом диапазоне принимает значения, много меньшие единицы. Сумма ее членов равна 1/(1 - х). Подставляя это выражение в формулу для Е, имеем: .

Подставляя значение х = и затем Еф = h, имеем:

Заменяя в формуле Релея - Джинса классическое значение средней энергии Е = kT на квантовое Е = , получаем для излучательной способности формулу Планка:

График спектра теплового излучения, даваемый формулой Планка, в точности совпадает с соответствующей экспериментальной зависимостью E,Т().

Из формулы Планка вытекает формула Рэлея-Джинса, как ее длинноволновое приближение: при , и и или - формула Рэлея - Джинса.

С увеличением длины волны  (уменьшением частоты  = с/) уменьшается энергия квантов света и резко понижается их спектральная плотность dn/d = 2с/4. В области больших длин волн (малых частот) энергия h кванта света ничтожна, и дискретный, квантовый характер излучения нивелируется, не проявляется.

В областях малых длин волн, то есть при и - из формулы Планка вытекает другое ее предельное, приближение, отображаемое формулой Вина.

Для интегральной излучательной способности (энергетической светимости) EТ получаем закон Стефана - Больцмана:

где  = 25k4/15с2h4  5,6710-8 Вт/(м2К4).

И, наконец, закон смещения Вина получается из формулы Планка при исследовании ее на экстремум: , при  = м. Отсюда Т­м = hс/4,97k = b - закон смещения Вина.

Таким образом, М. Планком в 1900 г. было введено новое, непривычное для классической физики представление о квантах энергии электромагнитного излучения, позволившее целостно объяснить всю известную совокупность опытных фактов и законов теплового излучения тел. Дальнейшее развитие квантовой гипотезы Планка и квантовой концепции света было осуществлено при анализе таких явлений, как фотоэффект и эффект Комптона.

Фотоэлектрический эффект (фотоэффект)

Фотоэлектрическим эффектом или просто фотоэффектом называют совокупность электрических процессов, происходящих в веществе под воздействием света и включающую в себя внешний фотоэффект, внутренний фотоэффект и вентильный фотоэффект.

Первое фотоэлектрическое явление – внешний фотоэффект, заключающееся в вырывании светом электронов из вещества, впервые экспериментально было обнаружено в 1887 г. Г. Герцем и детально исследовано в 1888 - 1889 гг. А. Г. Столетовым. Обобщенная схема экспериментальной устано­вки для изучения внешнего фотоэффекта (см. рис) представляла собой двухэлектродную стеклянную трубку, лампу (вакуумный диод - фотоэлемент), один из электродов (катод К) которой облучался пучком света. Между катодом и вторым электродом – анодом А прикладывалось напряжение U, которое можно было регулировать (как по величине, так и по знаку, полярности) с помощью потенциометра П. Амперметр А измерял силу I тока, протекающего через лампу, а вольтметр В измерял напряжение между анодом и катодом.

Х арактерные особенности внешнего фотоэффекта наиболее полно вскры­ваются в его вольтамперной характеристике (ВАХ), представляющей собой зависимость силы фототока (тока электронов, попадающих на анод) от напряжения между катодом и анодом.

П адающий на катод свет своим переменным электрическим полем раскачивает электроны вещества, и со временем происходит их отрыв и вылет их из катода. В силу имеющегося разброса начальных скоростей электронов, вылетающих из разных по глубине слоев вещества катода, до анода долетают лишь наиболее быстрые из них. С ростом положительного напряжения на аноде число таких электронов возрастает, и при некотором напряжении все, вырванные светом из катода электроны, достигают анода, образуяток насыщения нас.

Чтобы обратить фототок в ноль, необходимо между анодом и катодом приложить напряжение UЗ обратной полярности, называемое запирающим или задерживающим.

Опыты выявили следующие основные закономерности внешнего фотоэффекта:

Сила тока насыщения нас прямо пропорциональна световому потоку5 Ф: нас  Ф (эта закономерность носит название закона Столетова).

Фотоэффект начинается с некоторой минимальной частоты света мин (или о), получившей название красной границы6 фотоэффекта.

Максимальные кинетическая энергия Ек макс и скорость к макс фотоэлектронов (а также и задерживающее напряжение Uз) пропорциональны частоте  света и не зависят от его интенсивности (светового потока).

Фотоэффект практически безынерционен, т. е. фототок возникает мгновенно после облучения светом вещества.

Согласно классической волновой электромагнитной теории света, вырывание электронов, связанных в веществе, происходит вследствие возрастающей во времени “раскачки” их переменным электрическим полем световой волны. В волновом подходе интенсивность света пропорциональна амплитуде световой волны, и именно эти характеристики должны были определять возможность самого фотоэффекта и его “силу”. Опыт же говорил о том, что определяющей характеристикой оказывается частота света. Волновой подход не смог объяснить основные закономерности внешнего фотоэффекта и, прежде всего, частотные закономерности (наличие красной границы, пропорциональность запирающего напряжения частоте света), а также его безынерционность и независимость запирающего напряжения от интенсивности света. Это несоответствие классической волновой теории и опыта было преодолено в 1905 г. А. Эйнштейном путем привлечения квантово-корпускулярных представлений о свете, предложенных в 1900 г. М. Планком при объяснении закономерностей теплового излучения.

А. Эйнштейн предположил, что свет не только излучается в виде дискретных энергетических порций, квантов, энергия которых, по Планку, пропорциональна частоте Е = h, но и поглощается веществом также этими неделимыми порциями света, названными впоследствии фотонами. Эйнштейн записал основное уравнение однофотонного фотоэффекта, представляющее собой фактически закон сохранения энергии при взаимодействии фотона со связанным в веществе электроном. Согласно этому уравнению, энергия фотона расходуется на совершение работы Авыхпо вырыванию электрона из металла и сообщение ему кинетической энергии Ек, то есть:

h = Авых + Ек макс.

За работу Авых в уравнении Эйнштейна принимают работу по вырыванию наименее связанных в веществе электронов, которые приобретают при вылете наибольшую скорость м и кинетическую энергию7 Ек макс.

Из уравнения Эйнштейна сразу вытекает наличие красной границы фотоэффекта, т. е. существование такой граничной частоты о, при которой начинается фотоэффект и ниже которой энергии фотона не хватит на совершение работы выхода электрона, т. е. на преодоление сил связи его с веществом:

hо = Авых о = Авых/h; о и Авых являются табличными характеристиками вещества.

Задерживающее напряжение определяется из условия обращения фототока в ноль. При этом тормозящее электрическое поле между катодом и анодом совершает работу А, равную максимальной кинетической энергии электронов А = qеUз = Ек макс. Подставляя вместо Ек макс в уравнение ЭйнштейнаqеUз, имеем: h = Авых + qеUз, откуда Uз = (h - Авых­)/qе  Uз  . Таким образом, из уравнения Эйнштейна вытекает пропорциональная зависимость задерживающего напряжения Uз (а с ним и максимальных кинетической энергии Ек макс и скорости фотоэлектронов макс) частоте  света при фотоэффекте и независимость Uз от интенсивности света.

Интенсивность света в квантовом подходе оказывается пропорциональной числу фотонов, ежесекундно, падающих на единицу площади. Отсюда становится понятной пропорциональность силы фототока насыщения световому потоку8 Ф, облучающему материал. При фототоке насыщения все вырванные из материала электроны достигают противоположного электрода. В стадии до насыщения часть вылетевших из материала электронов, обладающих скоростью, меньше максимальной, возвращалась обратно под воздействием отталкивающего электрического поля ранее вылетевших электронов и притягивающего действия, положительно заряжающегося при отдаче электронов катода.

С увеличением интенсивности света увеличивается число фотонов, ежесекундно бомбардирующих катод и, соответственно, число вырываемых ими электронов, которые в стадии насыщения все достигают анода, обусловливая возрастание силы фототока до тока насыщения.

Безынерционность фотоэффекта в квантовом подходе тем и объясняется, что взаимодействие электронов со светом носит не растянутый во времени, как с волной, а элементарный, мгновенный характер взаимодействия двух частиц – частицы вещества – электрона и частицы света (электромагнитного поля) – фотона.

Если электрический вектор падающей на вещество световой волны не перпендикулярен плоскости падения, возможен так называемый селективный фотоэффект. В нем сила фототока сильно зависит от угла падения и поляризации световой волны. Нормальная составляющая вектора гораздо более эффективна для вырывания электрона из металла, чем касательная составляющая.

В сильных световых полях возможен так называемый многофотонный фотоэффект. В нем вырывание электрона осуществляется в результате поглощения не одного, а двух, или реже трех фотонов. При этом происходит пересмотр понятия «красная граница фотоэффекта».

Давление света.

Квантово - корпускулярная концепция света позволила легко и наглядно объяснить такое его опытное проявление как давление (именно давлением солнечного света объясняли, например, изгибание хвостов комет, при их приближении к Солнцу, в сторону от Солнца).

Если фотоэффект связан с передачей от фотонов энергии веществу, то давление света связано с передачей другой, векторной меры движения – импульса. Напомним, что фотон, как частица света, энергия которой пропорциональна частоте света Еф = h = hс/, обладает импульсом рф = Еф/с = h/. Быстрота изменения (передачи) импульса, согласно второму закону Ньютона, есть сила, а сила, приходящаяся на единицу площади, есть давление P: и .

Таким образом, давление света на вещество равно импульсу, передаваемому фотонами единице площади в единицу времени. Если поверхность полностью поглощает падающие на нее по нормали фотоны (свет), то каждый фотон передает ей импульс рф = h/с, а при полном отражении – удвоенный импульс 2рф. Если же поверхность частично отражает падающий на нее свет с коэффициентом отражения , то при падении в единицу времени на единицу площади nо = /St фотонов, отразится от нее число фотонов, равное nо, а поглотится nо(1 – ) фотонов. Они окажут давление (передадут единице площади в единицу времени импульс), равное:

Р = nо(1 - )h/ + 2nоh/ = (nоh/)(1 + ) = (nоhс/с)(1 + ) = (nоЕф/с)(1 + ) = (W/с)(1 + ),

где W = nоЕф – энергия фотонов, падающих за единицу времени на единичную площадку, т. е. вектор Умова - Пойнтинга – плотность потока переносимой энергии. Из известной из теории волн формулы взаимосвязи плотности потока с объемной плотностью  энергии волны:W = с, получаем формулу для давления света в виде:

Р = (1 + ), где  - объемная плотность энергии фотонов, то есть энергия фотонов

в единице объема.

Полученная формула для давления света, как потока фотонов, полностью аналогична таковой, получаемой в волновом подходе. Там физический механизм давления сводился к тому, что переменное электрическое поле световой волны приводило в колебательное движение электроны атомов вещества, а на эти движущиеся электроны действовало уже магнитное поле световой волны с силой Лоренца = q+ q [],направленной вглубь вещества. Таким образом, давление света является таким эффектом, который в равной степени успешно объясняется как с волновых, так и с корпускулярных воззрений на природу света, его микроструктуру. Квантово - корпускулярная концепция получила окончательное признание после того, как успешно объяснила такой эффект, как эффект Комптона, в котором свет, взаимодействуя с веществом, передает ему одновременно и энергию, и импульс.

Эффект Комптона.

Д лявидимого света энергия фотона Еф = h меньше энергии связи электронов с атомом, но соизмерима с энергией связи «свободных» электронов с веществом металлов. С повышением частоты излучения его фотоэлектрическое поглощение веществом уменьшается и становится совсем несущественным на частотах, на которых энергия фотона значительно превышает энергию связи электрона в атоме. Для такого высокочастотного, например, рентгеновского излучения, электроны вещества становятся практически свободными. Свободный же электрон не может поглотить фотон. На смену фотоэлектрическому поглощению света приходит рассеяние фотонов на электронах.

В 1925 г. А. Комптон, исследуя рассеяние рентгеновских лучей в парафине, обнаружил эффект увеличения длины волны рассеянных веществом лучей с ростом угла рассеяния . По классической теории рассеяния света, основанной на волновых представлениях, длина волны света при рассеянии не должна изменяться; под действием возмущающего электрического поля световой волны электрон колеблется с частотой поля и поэтому излучает вторичные (рассеянные) волны той же частоты. Комптон предложил квантово-корпускулярную трактовку обнаруженного им явления возрастания длины волны рассеянных веществом рентгеновских лучей. Моделируя эти лучи фотонами с энергией Е = h, много большей энергии связи валентных (внешних) электронов в легких атомах (какими, например, являются атомы углерода в парафине), Комптон рассмотрел взаимодействие фотона и свободного электрона. В основу расчета этого взаимодействия Комптон положил законы сохранения энергии и импульса. Здесь, в отличие от фотоэффекта, фотон отдает электрону не всю свою энергию Еф = hс/ = срф, а лишь ее часть; поэтому после взаимодействия он останется с уменьшенной энергией Еф = срф = hс/ и с увеличенной длиной . Так качественно объясняется возрастание длины волны рассеянных веществом лучей, т. е. суть эффекта Комптона. Более же строгое рассмотрение требует решать систему двух уравнений, выражающих собой законы сохранения энергии и импульса. Считая до взаимодействия электрон покоящимся и обладающим нулевым импульсом и энергией покоя mс2, запишем эти законы сохранения:

ЗСЭ: срф + mс2 = срф + Еэ  (рф – рф + mс)2 = (Еэ/с)2

ЗСИ: = +  рф2 – 2+ (рф) 2 = (рэ)2

Вычитая второе уравнение из первого, получим:

m2с2 – 2рфрф + 2рфmс – 2рфmс + 2рфр­фсоs  = (Еэ/с)2 – (рэ)2.

С учетом формулы взаимосвязи энергии и импульса Е2 = с2рэ2 + m2с4, выражение в правой части равно m2с2, и тогда полученное уравнение примет вид:

рф(рф + mс – рфcos ) = рфmс.

Выражаем из него . Так как , то = 

 =  + h(1 – cos )/mс, или  -  =  = h(1 – cos )/mс = е(1 – cos ) = 2еsin2/2

где е = h/mc  2,410-12 м - комптоновская длина для электрона9.

Разность зависит только от угла рассеяния и не зависит ни от , ни от рода рассеивающего вещества. В этом особенность эффекта Комптона. Максимальное смещение длины волны имеет место при  =  и равно макс = 2е = 4,8410-12 м.

Наряду со смещенной по длине волны компонентой с   , в составе рассеянных рентгеновских лучей имеет место и несмещенная компонента . Ее наличие объясняется рассеянием рентгеновских квантов не на внешних, слабо связанных с атомом, электронах, а на внутренних, сильно связанных с атомами вещества, электронах. При этом квант света взаимодействует с атомом в целом, масса которого в тысячи раз больше массы электрона, а комптоновская длина ат = h/mатс соответственно в тысячи раз меньше, чем для электрона. Поэтому и смещение длины волны  = 2ат оказывается пренебрежимо малым.

Примечательно, что свободный электрон не может полностью поглотить фотон, то есть фотоэффект на свободных электронах иметь места не может. Это связано с невозможностью вследствие разного характера закона дисперсии, то есть зависимости Е(р) для фотона (Еф = срф) и для электрона (Еэ = (с2рэ2 + m2с4), удовлетворить одновременно обоим законам сохранения – и энергии, и импульса. Поэтому, поглощая фотон, то есть принимая всю его энергию, электрон не может одновременно принять весь его импульс. Действительно, из ЗСЭ:

срф + mс2 = Еэ = (с2рэ2 + m2с4)  с2рф2 + 2рфmс3 + m2с4 = с2рэ2 + m2с4 

рэ2 = рф2 + 2 рфmс  рэ  рф.

В металле «свободные электроны» на самом деле связаны с кристаллом в целом, и там фотон при фотоэффекте передает часть импульса кристаллической решетке.

Фотоэффект (передача электрону энергии фотона) и давление света (передача импульса) являются в соотнесении с эффектом Комптона частичными, односторонними эффектами. И квантово-корпускулярная природа света в нем выступает наиболее полно и убедительно.

Корпускулярно – волновой дуализм, выявленный вначале применительно к свету, к электромагнитному полю, оказался позже применимым и к веществу, к его свойствам, и стал после открытия эффекта Комптона и его объяснения признанной универсальной особенностью физической реальности.

Атомная физика

В макроскопической физике природная реальность была четко подразделена на два вида – поле и вещество, отличающиеся друг от друга отсутствием (поле) и наличием (вещество) пространственной локализации и, соответственно, траекторным (вещество) или бестраекторным (поле) характером движения. Поле считалось непрерывным также и в отношении внутреннего состава и структуры, а потому непрерывным и в спектре своих характеристик (амплитуды, интенсивности). Однако, при переходе с начала XX в. к изучению микропроявлений электромагнитного поля (света) – его излучения и взаимодействия с частицами вещества, выяснилось, что поле проявляет и квантово - корпускулярные свойства и оказывается в итоге корпускулярно - волновым объектом, в котором исчезают резкие отличия его от вещества.

Аналогичный процесс устранения резкого противопоставления двух видов физической реальности пошел в физике XX в. и со стороны изучения вещества, его микроструктуры. Здесь, при углублении в атомную, молекулярную физику и физику элементарных частиц выяснилось, что на микроуровне частицы вещества теряют траекторный характер движения, их характеристики во многих случаях становятся квантовыми и т. д. Все это указывало на глубокое внутреннее единство вещества и поля, на относительность их резкого противопоставления. Одним из первых важных прорывов на пути внедрения квантово - волновых представлений в физику вещества явилась теория Н. Бора, основывающаяся на опыте Резерфорда и его ядерной (планетарной) модели атома.

Опыт Резерфорда и ядерная модель атома.

В отличие от поля, вещество в физике от древних греков считалось дискретным, состоящим из мельчайших частиц, называемых атомами. К началу XX в атомистическая гипотеза древних, считающая атомы мельчайшими, неделимыми далее порциями вещества (с греческого tomos – часть и atomos – не имеющий частей, неделимый) перестала соответствовать накопленному экспериментальному материалу. Выявление и изучение термоэлектронной эмиссии, электрического тока в металлах и газах, фотоэффекта и особенно радиоактивности с ее  -, - и  - лучами привели к обнаружению еще более мелких, чем атомы частиц. Ими были, прежде всего, отрицательно заряженные  - частицы (электроны) и положительно заряженные  - частицы (ядра атомов гелия).

Встала проблема установления внутреннего состава и строения атома. Начали выдвигаться различные модели устройства атомов. Они должны были учитывать такие, известные из опыта закономерности, как:

Электрическая нейтральность атома в целом.

Наличие в составе атомов легких, отрицательно заряженных частиц – электронов.

Динамичность системы заряженных частиц, ибо статическая система не может

быть устойчивой (по теореме Ирншоу – из электростатики).

Дискретный характер спектра излучения атомов.

Решающий эксперимент для построения современной модели строения атома осуществил в 1911 г. Э. Резерфорд с сотрудниками. Открытие радиоактивности дало в руки физиков мощное орудие исследования структуры атома, а именно - альфа-излучение, состоящее из ядер гелия, движущихся с большой скоростью. Бомбардируя  - частицами, вылетавшими из радиоактивного вещества (РВ) с большой скоростью   107 м/с, тонкую (доли микрона) золотую10 фольгу Ф, Резерфорд изучал с помощью наблюдения в измерительный микроскоп ИМ рассеяние  - частиц атомами фольги. Опыты показали, что вещество (материал фольги, его атомы) является весьма “пористым”, т. к. подавляющая часть  - частиц (99,95%) пронизывала фольгу насквозь. Лишь незначительная часть их, примерно 1/2000, рассеивалась на углы , большие 90, т. е. отбрасывалась назад. Но именно последний факт обратил на себя внимание Резерфорда, который посчитал его невероятным. Дело в том, что отбросить массивную, положительно заряженную  - частицу, движущуюся с огромной скоростью, может лишь положительный массивный заряд, сосредоточенный в очень малом объеме. Примерный размер (радиус) этого объема Резерфорд оценил исходя из закона сохранения энергии, из условия равенства кинетической энергии  - частицы работе ее торможения в электрическом поле положительного заряда атома фольги:

,

где Z – порядковый номер атома фольги в табл. Менделеева.

Полученный размер оказался много меньше диаметра атома, порядок которого, по газокинетическим оценкам, составлял м. Кроме того, в существовавших моделях атома (например, в модели Томсона), он представлялся в виде равномерно заряженного положительного шара, внутри которого колеблются электроны. Для объяснения своих опытов Резерфорд предложил новую ядерную или планетарную модель атома, согласно которой атом построен по типу солнечной системы, где гравитационные силы заменены на силы электромагнитные.

В ней атом состоит из массивного положительного ядра малых размеров порядка м и вращающихся вокруг него на больших расстояниях (с радиусом порядка м) легких электронов. Эта модель во многом подобна нашей планетарной системе с центром – ядром – массивным Солнцем и вращающихся вокруг него более легких планет.

Но в теоретическом плане эта модель, порожденная опытом, оказалась противоречащей основным положениям классической электродинамики; вращающийся вокруг ядра электрон представляет собой заряженную частицу, движущуюся с ускорением, и должен был излучать энергию в виде электромагнитных волн. Но, излучая энергию, т. е. теряя в итоге запас своей энергии, электрон спустя короткое время (по расчетам, порядка с) должен был упасть на ядро. Но этот вывод классической электродинамики не соответствовал опыту, ибо атомы были устойчивыми образованиями. Частота излучения в классической электромагнитной теории должна совпадать с частотой орбитального движения электрона. По мере того, как электронная орбита сжимается, частота обращения непрерывно возрастает. Таким образом, спектр излучения, испущенного возбужденным атомом водорода, казалось бы, должен быть непрерывным, т. е. в нем должны быть представлены все частоты. Эксперименты, однако, показывают, что спектр излучения атома водорода, наоборот, состоит из семейства дискретных линий.

Так же, как и при анализе закономерностей теплового излучения, надо было приводить в очередное соответствие прежнюю теорию с новым опытом. Такое реформирование теории первоначально было проведено Н. Бором.

studfiles.net

8.2. Формула Рэлея-Джинса | Политех в Сети

По теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы на одну степень свободы в классической статистической системе приходится энергия KT/2. У гармонического осциллятора, описывающего одну моду колебаний, средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной и поэтому его средняя энергия равна KT. В результате получим:.

Равенство называется Формулой Рэлея-Джинса. Она хорошо согласуется с опытом при малых частотах. Но при W®¥ получается недопустимое соотношение: UW,TÞ¥. Кроме того, полная объемная плотность излучения также стремится в бесконечность. Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, находится в разительном противоречии с опытом.

Формула Вина

Вин предположил, что каждая мода колебаний является носителем энергии E(W), но не все моды данной частоты возбуждены. Относительное число DN/N — возбужденных мод дается распределением Больцмана; DN/N = E—E(W)/KT. Откуда для средней энергии, приходящейся на моды с частотой W, находим

.

Из общих термодинамических соображений Вин заключил, что энергия моды частотой W пропорциональна частоте, т. е. (коэффициент пропорциональности дан в современных обозначениях в виде постоянной Планка, которая в то время не была известна). Тогда формула c учетом принимает вид: Эта формула носит название формулы Вина и хорошо согласуется с опытом в области достаточно больших частот.

Формула Планка

Правильная формула спектральной плотности энергии равновесного излучения, подтвержденная всеми экспериментальными исследованиями, была найдена Планком полуэмпирическим путем. Затем Планк сделал теоретический вывод этой формулы, изложенной им 14 декабря 1900 г. на заседании Немецкого физического Общества. Этот день считается днем рождения новой — квантовой физики.

Основная гипотеза Планка состояла в том, что излучение и поглощение света веществом происходит не непрерывно, а конечными порциями, называемыми квантами света или квантами энергии. Если придерживаться метода, который был использован для вывода формулы Рэлея-Джинса, то гипотезу Планка удобно сформулировать так: энергия гармонического осциллятора может принимать не произвольные, а только избранные значения, образующие дискретный ряд: 0, E0, 2E0, 3E0 ,…, где E0 — определенная величина, зависящая только от собственной частота W осциллятора. Здесь под осциллятором понимается не только частица, способная совершать гармонические свободные колебания, но и стоячая волна определенной частоты в полости.

Если осциллятор находится в полости, стенки которой поддерживаются при постоянной температуре, то наряду с излучением будут происходить и акты поглощения, в результате которых возбуждаются и высшие энергетические уровни. Установится определенное состояние равновесия, в котором число актов излучения в среднем равно числу обратных актов поглощения. В этом состоянии будут возбуждены все энергетические уровни, но с различными вероятностями. Поэтому дли нахождения функции UW,T нужно было определить среднюю энергию осциллятора в состоянии статистического равновесия.

По теореме Больцмана вероятности возбуждения энергетических уровней осциллятора пропорциональны величинам: Поэтому где введено обозначение X = E0/(KT). Значение знаменателя перепишется так: Числитель находится дифференцированием этой формулы по X:

И, следовательно, Подставив это значение в, найдем

Величину E0 Планк определил из требования, чтобы последнее выражение удовлетворяло общей термодинамической формуле Вина:

Так как E0 есть характеристика только самого осциллятора, поэтому она не может зависеть от температуры Т, а должна зависеть только от собственной частоты осциллятора. В таком случае, чтобы левая часть последнего равенства была функцией только аргумента W/T необходимо и достаточно, чтобы,

Где =1,054×10-34Дж×с — постоянная Планка.

Если выражение подставить в, то и получится формула Планка: При <<KT (малых частотах) формула переходит в закон Рэлея-Джинса, а при >> KT (больших частотах) — в закон Вина.

Закон Стефана-Больцмана

Интегрируя функцию Планка по всем частотам, получим полную объемную плотность излучения:

или UT  =  AT4 , где 7,56×10-16 Дж м-3 K-4. Переходя к энергетической светимости абсолютно черного тела с учетом (6), последнее соотношение перепишем так: ET = ST4,

Где S = Ac/4 = 5,67 10-8 Вт м-3 K-4 носит название Постоянной Стефана-Больцмана, а соотношение описывает Закон Стефана-Больцмана.

Закон смещения Вина

Максимум спектральной плотности излучения может быть найден из формулы. Однако положение максимума зависит от того, в какой шкале определяется спектральная плотность. Как указывалось, на практике обычно пользуются шкалой длин волн и функцией спектральной плотности энергетической светимости излучающего тела EL,T. Для абсолютно черного тела, с учетом и формула Планка для этой функции принимает вид: где С1 = 2PHc2 И С2 =  Hc/K — постоянные. Функция EL,T описывает так называемый спектр излучения абсолютно черного тела, вид которого для различных температур представлен на рис. 8.1.

Р и с. 8.1

Площади, ограниченные кривыми графиков, определяют энергетические светимости при различных температурах. Положение максимума спектральной плотности энергетической светимости определяется из условия DEL,T/DL = 0, дающего для определениях LMАх трансцендентное уравнение 5 = Xex (Ex—1), где Решением этого уравнения является X = 4,865, что приводит к выражению LMaxT = Ch/Kx = B,

Где B @ 0,0029 мK — постоянная cмещения Вина, а само соотношение называется Законом смещения Вина. Как видно из рис.8 1, при повышении температуры тела максимум EL,Т смещается в сторону меньших длин волн в соответствии о законом смещения Вина. Максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости согласно и изменяется с температурой по следующему закону: ELMax,Т = С3×T5, где

Вт/(м2 мкм K5).

www.webpoliteh.ru


Смотрите также